.RU

Уравнения вращательного движения земли и их решения при воздействии солнца и планет







Всероссийский институт научной и технической информации

(ВИНИТИ РАН)


___________________________________________________________________


ДЕПОНИРОВАННАЯ НАУЧНАЯ РАБОТА


Москва

Смульский И.И., Сеченов К.Е. Уравнения вращательного движения Земли и их решения при воздействии Солнца и планет / Институт криосферы Земли СО РАН. - Тюмень, 2007. - 36 с. - ил. : 7. Библиогр.: 19 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 02.05.07 г. № 492-В2007.


РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ КРИОСФЕРЫ ЗЕМЛИ


УДК 521.172 + 523.2


И.И. Смульский, К.Е. Сеченов

^ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЗЕМЛИ

И ИХ РЕШЕНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СОЛНЦА И ПЛАНЕТ


Исправления от 12.01.10 г.


 

Тюмень 2007


Аннотация

С целью изучения эволюции климата рассматривается вращательное движение Земли. Проанализирована теорема моментов и на ее основе приведен вывод дифференциальных уравнений вращательного движения. Обсуждены проблемы с начальными условиями и представлен алгоритм численного решения. Численно проинтегрированы уравнения при воздействии на Землю по отдельности Солнца и планет в течение 10 тыс. лет. Проанализированы результаты и сопоставлены с решениями других авторов и наблюдениями.


1. Введение

В истории Земли наблюдаются периодические изменения осадочных слоев на материках и океанах, их химического состава и магнитных свойств. Прослеживаются также колебания уровней океанов и повторяющиеся следы деятельности ледников. Климатические изменения определяются разными факторами, в том числе, количеством солнечного тепла, поступающего на Землю. Оно зависит от угла падения солнечных лучей на поверхность, отдаленности ее от Солнца и длительности освещения. В 20-х годах XX века югославский ученый Милутин Миланкович (1939) создал астрономическую теорию ледниковых периодов, в которой эти три фактора выражаются наклоном плоскости орбиты к плоскости экватора, эксцентриситетом орбиты и положением перигелия. В последующем расчеты М. Миланковича повторяли другие исследователи: Д. Брауэр и А. Вурком (1950), Ш.Г. Шараф и Н.А. Будникова (1967), А Берже и М.Ф. Лоутре (1991), Ж. Ляскар и др. (1993), а также другие.

В результате взаимодействия тел Солнечной системы происходят изменения орбит планет. Из-за вращения Земля вытягивается в экваториальной плоскости. Поэтому каждое из внешних тел создает момент сил, который приводит к прецессии и нутации земной оси. Эти движения плоскости экватора складываются с движением плоскости орбиты и дают угол наклона между двумя плоскостями, от которого зависит инсоляция Земли.

В вышеупомянутых работах задача орбитального движения решалась приближенно аналитическими методами, в рамках так называемой теории вековых возмущений. Во второй задаче о вращательном движении Земли дифференциальные уравнения вращательного движения второго порядка упрощались до уравнений первого порядка, уравнений Пуассона, которые решались приближенно аналитическими методами.

Каждая из последующих групп вышеупомянутых исследователей использовали более совершенные аналитические теории вековых возмущений. Однако, теории вращательного движения основывались на уравнениях Пуассона и на учете воздействия на Землю только Луны и Солнца. Одним из путей дальнейшего совершенствования решения этих двух проблем является использование современных компьютеров. С помощью численных методов можно избежать упрощений, которые неизбежны при аналитическом решении проблемы. С помощью численного метода мы проинтегрировали уравнения движения Солнца, планет и Луны за 100 млн. лет. И в настоящей работе предлагаются результаты численного метода по интегрированию уравнений вращательного движения Земли.

В течение почти трех веков уравнения вращательного движения неоднократно выводились разными авторами. При этом они основывались на разных теоремах механики, использовали разные системы координат, разные обозначения и разные методы решения. Все авторы в процессе вывода уравнений начинали их упрощать с целью дальнейшего решения уравнений аналитическими методами. В подавляющем большинстве эти уравнения сводились к уравнениям Пуассона. Таким образом, в литературе отсутствуют общепринятые неупрощенные дифференциальные уравнения вращения Земли, которые без всякого изменения можно было бы подвергнуть численному интегрированию.

Кроме того, при численном интегрировании возникает ряд конкретных проблем, например, задание начальных условий, которые невозможно решить, если детально не представлять все особенности вывода дифференциальных уравнений. Часто возникают противоречия между трактовкой сложного вращательного движения Земли в астрономии и требованиями, которые следуют из законов механики. В связи с этим нам пришлось проанализировать разные выводы уравнений, в результате чего был выбран наиболее простой, который и представлен в настоящей работе. Ввиду объемности вывода здесь приведены лишь принципиальные математические преобразования и описана схема вывода остальных.

Во второй половине 20-ого века были введены в действие высокоточные системы наблюдения вращения Земли, которые позволили исследовать динамику Земной оси на малых интервалах времени. С целью ее объяснения были созданы теории прецессии и нутации. Расхождение между этими теориями и наблюдениями вынудило исследователей кроме основного гравитационного воздействия вводить дополнительные эффекты (см., например, Жаров В.Е. (2005)). Перечислим некоторые из них. Для расчета гравитационного взаимодействия элемента массы Земли с точечным телом вводилась коррекция на распределение геопотенциала по поверхности Земли. Кроме того, рассматривалась неосесимметричная Земля с неравными между собой моментами инерции Jx и Jy, различие которых также определилось по поверхностному геопотенциалу. Вводилась коррекция на торможение вращения Земли за счет приливных сил. К гравитационным силам добавлялись также релятивистские силы в уравнениях вращательного движения путем учета геодезической прецессии (см. Бретаньон и др. (1997)), а также учетом релятивистской добавки в силовой функции в уравнениях для орбитального движения (см. Куинн Т.Р. и др. (1991)).

Для объяснения различия между теорией и наблюдениями вводят модели нежесткой Земли, а также структурированную Землю, в которой каждая структура, например, ядро Земли, имеют свое движение (см. Молоденский С.М. (2004)). При рассмотрении эволюции оси Земли за большие периоды времени дополнительно учитывается изменение моментов инерции Земли за счет перераспределения льда в полярных областях.

Практически все дополнительные эффекты не определены так точно, как гравитационные силы. Влияние ряда из них носит гипотетический характер. Некоторые из них предложены специалистами из разных областей физики и специалистам в небесной механике приходится применять их на веру, не подвергая строгому анализу. К таковым относятся релятивистские добавки. Эти силы зависят не только от расстояния, но и от скорости (см. Смульский И.И. (1999)). В теоретической механике системы с такими связями называются неголономными системами. Для таких систем энергетические методы механики требуют коррекции. Специалистам в общей теории относительности известны противоречия уравнений движения с законами сохранения.

Все эти дополнительные слабые воздействия основаны на расхождениях между расчетами основного гравитационного воздействия на вращательное движение Земли и наблюдениями. Однако, этот расчет, как отмечалось ранее, выполнен приближенно. И как будет показано ниже при выводе дифференциальных уравнений вращательного движения Земли, существует целый ряд упрощений этих уравнений, которые могут давать отличия результатов расчетов от наблюдения. Поэтому представляет большой интерес получение как можно более точных решений, чтобы не возникало сомнений, что невязки расчетов с наблюдениями действительно должны объясняться другими факторами. Это положение приобретает еще большую актуальность при исследовании вращательного движения за большие периоды времени. Дополнительные слабые воздействия, которые оттарированы на кратковременных наблюдениях, могут давать нереальные результаты на интервалах в миллионы лет. В связи с этим, далее рассматривается ньютоновское гравитационное воздействие на вращательное движение осесимметричной Земли.


^ 2. Теорема моментов и ее приближенные результаты

Земля представляет собой нетвердое тело, которое принимает равновесную осесимметричную форму под действием двух систем сил: гравитационных и центробежных. Она образует сплюснутый у полюсов геоид с осью симметрии, расположенной по вектору угловой скорости собственного вращения. Этот вектор совершает сложное движение в пространстве, поэтому абсолютная скорость вращения Земли не совпадает с .

Вращательное движение Земли рассматриваем в поступательно движущейся (невращающейся) системе координат x1y1z1, связанной с центром O масс Земли. В соответствии с теоремой моментов относительно подвижного центра масс (см. например, Тарг С.М. (1998), стр. 293) вращательное движение механической системы описывается теоремой изменения момента количества движения:

, (1)

где - момент количества движения (кинетический момент) Земли относительно центра О в системе x1y1z1.

- момент относительно этого центра, действующей на тело внешней силы в той же системе x1y1z1.

Проанализируем теорему моментов (1) на примере вращательного движения трех тел, представленных на рис. 1. Пусть юла (см. рис. 1а) имеет угол с осью z1 и вращается вокруг своей оси z с угловой скоростью . В ее центре масс ^ C приложена сила тяжести P. На юлу действует момент сил , под действием которого ее ось z начнет поворачиваться вокруг точки O с угловыми скоростями и . Вектор абсолютной угловой скорости юлы будет

. (2)

Рассматриваем осесимметричную юлу с моментом инерции Jz, скорость вращения которой значительно больше скоростей поворота оси и . Тогда ее приближенный кинетический момент будет направлен вдоль оси z (см. рис. 1а), а теорема моментов (1) запишется



Рис. 1. Прецессия вращающихся тел: а – юлы на опорной поверхности x1Oy1; б – подвешенного в т. O колеса; в – свободной Земли. 1 и 2 – плоскости экватора Земли и ее орбиты; 3 – плоскость орбиты воздействующего на Землю тела B.


. (3)

Такой подход применяется в элементарной теории гироскопа. Так как вектор момента сил перпендикулярен , то по величине кинетический момент изменяться не будет: , а его изменение по направлению, согласно (3), определится в плоскости x1Oy1 вектором . Тогда за время кинетический момент получит приращение , что приведет к его повороту вокруг оси z1 на угол . Выразив приращение кинетического момента ΔK через приращение угла : , получаем скорость поворота кинетического момента:

(4)

Из рис 1а видно, что при повороте , а, следовательно, и оси юлы на угол момент силы также повернется на такой же угол вокруг оси z1. Так как в новом положении силовое воздействие не изменится, то ось юлы будет непрерывно прецессировать против стрелки часов со скоростью прецессии (4). После подстановки в (4) значения момента скорость прецессии запишется:

. (5)

В рассмотренном приближении скорость прецессии (5) не зависит от угла наклона оси юлы . Кроме того, в этом случае мы не получаем нутационных колебаний, обусловленных изменением .

Как видно из рис. 1б, в случае подвешенного колеса момент сил mO направлен за стрелкой часов. Поэтому прецессия оси колеса будет происходить за стрелкой часов, а ее скорость будет также определяться выражением (5).

На рис. 1в представлена схема воздействия тела B на вращающуюся Землю. В случае центрально-симметричной Земли действие тела B на ближнюю и дальнюю от тела части Земли выразится в виде сил и , равнодействующая которых пройдет через центр О. Для сплюснутой к экватору Земли сила увеличится, а сила уменьшится, в результате чего возникнет момент сил , направленный как и на рис. 1б, по стрелке часов. Поэтому ось Земли будет прецессировать за стрелкой часов, а скорость прецессии будет описываться формулой (4).

Нами были выполнены эксперименты с юлой и велосипедным колесом, которые подтвердили эти выводы. Выше мы рассмотрели вращение тел с угловой скоростью , т.е. против стрелки часов. При смене ее направления, меняется также направление прецессии, т.е. знак .

Из анализа воздействия тела на Землю (см. рис. 1в) можно установить периоды колебаний прецессии Земной оси. Максимальные моменты сил тело B создает в точках B1 и B3, причем одного и того же направления. При нахождении тела в плоскости экватора (точки B2 и B4) моменты сил равны нулю, т.е. за один оборот тела по орбите момент силы дважды изменяется от 0 до . Поэтому ось Земли будет подвержена прецессионным и нутационным колебаниям с полупериодами обращения планет, Солнца и Луны относительно подвижной плоскости экватора.

В своем орбитальном движении Земля и планеты сближаются. Если сближение произойдет в точке B1 или B3, то максимальный момент возрастет до значения . Поэтому ось Земли будет испытывать колебания с периодами сближений Земли с планетами, особенно близкими к Земле, в точках B1 и B3. Следует отметить, что с целью упрощения на рис. 1в изображены три пересекающиеся по одной линии плоскости: экватора 1, орбиты Земли 2 и орбиты тела 3. В действительности, линии пересечения плоскостей преимущественно не совпадают. Кроме того, орбиты не круговые, а эллиптические. Эти два обстоятельства приведут к модуляции отмеченных выше периодов.


^ 3. Дифференциальные уравнения вращательного движения

3.1. Момент количества движения Земли. При выводе уравнений вращательного движения возникают две проблемы: в зависимости от системы координат при повороте тела изменяются его моменты инерции или проекции угловой скорости. Поэтому вначале будем рассматривать в тех координатах, в которых моменты инерции не изменяются. Затем перейдем к координатам, в которых угловые скорости не зависят от поворота тела. Движение тел Солнечной системы будем рассматривать в неподвижной барицентрической системе координат x10, y10, z10 (см. рис. 2а), связанной с застабилизированной на эпоху T0 плоскостью орбиты Земли. Ось x10 направлена на точку весеннего равноденствия. Пусть система x1y1z1 с началом O в центре масс Земли, поступательно движется относительно системы x10y10z10. Ось z системы xyz, связанная с вращающейся Землей, направлена вдоль вектора скорости собственного вращения Земли, а ось x в начальный момент t=0 находится в плоскости нулевого меридиана, т.е. проходящего через г. Гринвич. Абсолютная угловая скорость вращения Земли в системе x1y1z1 с проекциями ωx, ωy, ωz на оси вращающейся системы xyz будет .

В теореме моментов (1) кинетический момент создается всеми массами вращающейся Земли в системе координат x1y1z1, а - моменты сил воздействия тел Солнечной системы на все массы Земли. Вначале определим производную кинетического момента, а затем сумму моментов сил.

Так как в системе x1y1z1 Земля вращается с угловой скоростью , то любой ее элемент dM с радиусом-вектором (см. рис. 2) движется со скоростью и относительно центра O имеет момент количества движения После интегрирования по всей массе Земли M кинетический момент будет:

. (6)

Продифференцировав по времени и подставив векторы , и , после преобразования получаем производные от проекций кинетического момента на оси вращающейся системы xyz:



Рис. 2 Воздействие тела Bi на элемент Земли dM и системы координат: x10y10z10 – неподвижная барицентрическая эклиптическая. x1y1z1 – невращающаяся и xyz – вращающаяся с Землей – геоцентрические. Эйлеровые углы , и положения системы xyz относительно x1y1z1. 1 – неподвижная плоскость эклиптики; 2 – подвижная плоскость экватора Земли; r=OA.


(7)

(8)

(9)

где εx, εy, εz - проекции углового ускорения Земли в системе x1y1z1 на оси вращающейся системы xyz;

- осевые моменты инерции Земли, а - ее центробежные моменты инерции.

Так как система xyz связана с вращающейся Землей, то моменты инерции от вращения Земли не зависят и остаются постоянными. В настоящее время знания о распределении плотности Земли недостаточны для определения моментов инерции. Как в дальнейшем будет показано, из наблюдаемой скорости прецессии можно определить только отношение между двумя моментами Jz и Jx, но не их абсолютные значения. В последние годы рассматриваются модели трехосной Земли, в которой третий момент инерции Jy оценивается по распределению потенциала силы тяжести на поверхность Земли. Однако, как будет показано далее, этот метод также не позволяет определить точное значение моментов инерции. Здесь же отметим, что в случае трехосной Земли из-за несимметричности распределения потенциала необходимо, как видно из (7) – (9), вводить в уравнения слагаемые с центробежными моментами инерции. Традиционно в выводах слагаемые с этими моментами опускают, а слагаемые с третьим моментом Jy оставляют. Однако, в конечных выражениях Jy приравнивают Jx. Поэтому, чтобы не загромождать статью неиспользуемыми слагаемыми, будем рассматривать осесимметричную Землю: Jy=Jx, и Jxy=Jxz=Jyz=0. Тогда производные кинетического момента (7) – (9) запишутся:

(10)

Для осей с нулевыми центробежными моментами инерции моменты Jx, Jy, Jz называются главными.

^ 3.2. Кинетический момент и теорема моментов в эйлеровых переменных. Положение вращающейся системы координат xyz (см. рис. 2) относительно невращающейся системе координат x1y1z1 определяется углами Эйлера: , , , где угол прецессии определяет положение линии узлов OK, по которой подвижный экватор пересекает неподвижную эклиптику; угол нутации определяет наклон между экватором и эклиптикой; угол - угол собственного вращения Земли вокруг оси z. На рис. 2 показаны направления углов, принятые в теоретической механике. В астрономии (а) принятые углы в направлении в соответствии с наблюдениями будут: и Направления угловых скоростей показаны на рис. 2, т.е. со стороны этих векторов поворот углов , и виден против часовой стрелки. Из рис. 2 видно, что эйлеровые скорости не изменяются при повороте Земли. Поэтому все переменные и уравнения выразим в эйлеровых переменных.

Так как вектор абсолютной угловой скорости можно представить в виде (2), то в проекциях на оси x, y, z можем записать:

(11)

где и т.д. - проекции эйлеровых угловых скоростей на оси координат xyz. После вычисления выражений (11) с помощью рис. 2 получаем известные уравнения Эйлера:

(12)

После дифференцирования (12) получаем угловые ускорения в эйлеровых переменных:

(13)

(14)

(15)

После подстановки угловых скоростей (12) и угловых ускорений (13) – (15) в (10) проекции производных кинетического момента в зависимости от эйлеровых углов будут:

(16)

17)

(18)

Теперь преобразуем теорему моментов (1) к эйлеровым углам. Моменты сил можно определять непосредственно через силы воздействия тел на элемент массы Земли. Однако при разложении их в дальнейшем в ряды они сводятся к другим слагаемым. Чтобы не терять преемственность с предшествующими работами, определяем здесь моменты через силовую функцию традиционным методом. Как известно из теоремы теоретической механики, моменты сил в направлении осей равны производным от силовой функции по углу поворота относительно этой оси. Поэтому, согласно рис. 2, в системе координат OKz1z с осями, расположенными по угловым скоростям , и моменты запишутся: С учетом этих моментов спроектируем правую и левую часть теоремы моментов (1) на оси системы координат OKz1z:

, , . (19)

Выразим производные кинетического момента в уравнениях (19) через производные , и в декартовых координатах ^ Oxyz. Проведем в плоскости xOy (см. рис. 2) ось OL перпендикулярно оси OK. Спроектируем производные , и (на рис. 2а не показаны, но идентичны проекциям , и ) на оси системы OLKz1:

; ; ,

откуда получаем:

; (20)

. (21)

Далее декартовые проекции (16) – (18) подставляются в выражения (20) – (21), а последние – в теорему моментов (19). Затем, выразив вторые производные, получаем дифференциальные уравнения вращения Земли в эйлеровых переменных:

; (22)

(23)

^ 3.3. Силовая функция в декартовых координатах. Определим силовую функцию воздействия тела Bi массой Mi (см. рис. 2) на Землю традиционным способом представленным, например, в книге Смарта У.М. (1965). Обозначим через xi, yi, zi его координаты во вращающейся системе xyz. На элемент Земли массой dM и координатами x, y, z силовая функция воздействия этого тела будет где G - гравитационная постоянная, а - расстояние от элемента dM до тела Mi. Просуммировав по всей массе Земли М и по всем n телам, получаем:

, (24)

где - плотность Земли.

Так как распределение плотности Земли ρ(x,y,z) в настоящее время известно только качественно, точно проинтегрировать выражение (24) не представляется возможным. Поэтому прямое определение силовой функции воздействия внешних тел на Землю, как механическую систему, невозможно. Все дальнейшие решения заключаются в упрощении выражения (24) и в определении силовой функции в зависимости от моментов инерции Земли Jx, Jy, Jz, соотношения между которыми в последующем определяются по наблюдаемой скорости прецессии Земли.

С учетом того, что расстояние ri до тела Мi значительно превосходит расстояние r до элемента dM, упростим выражение (24). Обозначим отрезки OD=ξi и AD=hi. Применив теорему Пифагора для катета hi для двух прямоугольных треугольников ΔODA и ΔADB, получаем:

(25)

где .

Так как то подынтегральную функцию в (24) разложим в ряд Тейлора по степеням b. Учитывая члены не выше четвертого порядка по отношению к , силовую функцию получим в виде:

(26)

Отрезок (см. рис. 2) выразим через координаты x, y, z элемента dM с помощью направляющих косинусов углов

(27)

где

(28)

По определению, оси тела, находящиеся на пересечении плоскостей симметрии, являются главными осями инерции. Оси вращающейся системы Oxyz направлены по главным осям инерции Земли. Поэтому интегралы типа где k – нечетное целое число, а f(x,y,z) – четная функция координат, будут состоять из двух равных по величине и противоположных по знаку частей на интервалах x<0 и x>0, т.е. в сумме эти интервалы будут равны нулю. Так как согласно (27) переменная пропорциональна координатам x, y, z, то интегралы в (26), зависящие от и будут равны нулю. Следует отметить, что в случае неосесимметричной Земли и отсутствия симметрии по одной из плоскостей zOx или zOy, эти интегралы необходимо учитывать, т.е. в силовую функцию, как и в производные кинетического момента (7)-(9), войдут центробежные моменты инерции.

Интеграл от первого слагаемого в (26) представляет массу Земли Числитель третьего слагаемого с учетом (27) можно записать так:

(29)

Так как то в (29) учтено, что Слагаемые с квадратами координат в (29) при интегрировании дают моменты инерции, а последнее – центробежные моменты типа которые для Земли с главными осями инерции вдоль x, y, z равны нулю. После подстановки (29) в (26) и интегрирования получаем без учета последнего пятого слагаемого:

(30)

В рассматриваемом случае воздействие на вращательное движение Земли определяется третьим и пятым слагаемыми в (26), так как они зависят от эйлеровых углов. Разделив пятое слагаемое на третье, найдем, что порядок их отношения равен где RE – радиус Земли. Наибольшее значение это отношение составляет для Луны, и оно равно С такой относительной погрешностью рассматривается в дальнейшем воздействие тел на вращение Земли. Поэтому дополнительные эффекты следует учитывать, если относительная величина их воздействия имеет порядок и более.

После подстановки направляющих косинусов и согласно (28) силовая функция (30) запишется:

(31)

где yi и zi – координаты тела Mi во вращающейся системе координат xyz.

^ 3.4. Моменты сил в эйлеровых координатах. Выразим yi и zi через координаты x1i, y1i, z1i координатной системы x1y1z1 (см. рис. 2). В плоскости x1Oy1 перпендикулярно OK проведем линию OL1. На эту линию координаты тела Bi дадут проекции тогда координата zi тела Bi запишется:

(32)

Аналогично, определяя проекции координат x1i и y1i на оси OK и OL, находим координату yi:

(33)

В дальнейшем не будем приводить громоздких выражений для неосесимметричной Земли. При необходимости они могут быть получены в нижеприлагаемой последовательности с использованием выражения (33). Для осесимметричной Земли после подстановки (32) в (31), с учетом Jy= Jx, силовая функция примет вид:

(34)

После дифференцирования (34) по эйлеровым углам φ, ψ, θ и приведения получаем моменты сил:

(35)

(36)

(37)

^ 3.5. Дифференциальные уравнения. Теорема моментов (1) в проекции на ось z вращающейся системы xyz, согласно (19), имеет вид: . При выводе уравнений мы считали Землю неизменяемой: Jz=const. Момент инерции осесимметричной Земли Jz может изменяться за счет перераспределения водной оболочки, таяния ледников, перемещения континентов и т.п. Чтобы оценить влияние этих факторов, введем Jz ≠ const. Так как, согласно (35) то и с учетом (10) при Jz = Jz0 получаем . После интегрирования имеем , что можно записать в виде:

, (38)

где Jz0 и ωz0 - момент инерции Земли и ее проекция абсолютной угловой скорости в начальную эпоху. Так как согласно (12) , то, с учетом (38), получаем угловую скорость собственного вращения Земли:

. (39)

Из выражения (39) следует, что собственная скорость вращения Земли , которая не связана с движением вектора угловой скорости , может изменяться за счет перераспределения момента инерции Земли и изменения скорости прецессии . Выражение (39) для угловой скорости собственного вращения Земли можно использовать для оценки влияния перемещения частей Земли на ее угловую скорость вращения.

Обозначив проекцию угловой скорости Земли , выражение (39) для неизменяемой Земли = const перепишем в виде:

. (40)

После подстановки , и производных от силовой функции (36) – (37) в уравнения (22)–(23) получаем уравнения вращательного движения Земли в следующем виде:

(41)

(42)

где - динамическая эллиптичность Земли; - проекция абсолютной скорости вращения Земли на ее ось z.

Так как , а изменяется согласно (40), то значение может быть получено в результате осреднения измеренных величин и , т.е. .


uchebnoe-posobie-blagoveshensk-izdatelstvo-bgpu-2010-stranica-22.html
uchebnoe-posobie-bozhij-dar-krasota-i-esli-prikinut-bez-lesti-to-ved-pridetsya-priznat-dar-etot-est-ne-u-vseh-stranica-13.html
uchebnoe-posobie-centr-distancionnogo-obrazovaniya-mgup-udk-311-stranica-2.html
uchebnoe-posobie-centr-distancionnogo-obrazovaniya-mgup-udk-311-stranica-7.html
uchebnoe-posobie-chast-1-stranica-3.html
uchebnoe-posobie-chast-2-2006-vasilev-o-l-pravovoe-regulirovanie-hozyajstvennoj-deyatelnosti-v-rossii-5-glava-1-sistema-dejstvuyushego-zakonodatelstva-v-rf-5-stranica-30.html
  • lecture.bystrickaya.ru/avdusin-d-a-arheologiya-sssr-m-1977-stranica-9.html
  • thescience.bystrickaya.ru/istochnik-ria-novosti-mirovie-ceni-na-neft-povisilis-13-01-2011.html
  • education.bystrickaya.ru/3-pravij-pivot-povorot-natural-pivot-turn-peresmotrennaya-tehnika-evropejskih-tancev.html
  • writing.bystrickaya.ru/atomatizaciya-funkcij-po-uchetu-zatrat-vspomogatelnogo-proizvodstva.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/priznaki-ukazivayushie-na-vozmozhnost-priyoma-rebyonkom-narkotikov-pamyatka-dlya-uchitelej.html
  • esse.bystrickaya.ru/programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-specialnosti-05-13-05-elementi-i-ustrojstva-vichislitelnoj-tehniki-i-sistem-upravleniya.html
  • bukva.bystrickaya.ru/razdel-7-sociolog-v-molodezhnom-pole-programma-disciplini-sociologiya-molodezhi-dlya-napravleniya-040200.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/audit-u-zarubzhnih-kranah.html
  • credit.bystrickaya.ru/perechen-normativno-pravovih-dokumentov-reglamentiruyushih-deyatelnost-doshkolnogo-uchrezhdeniya-mdou-detskij-sad-29-kompensiruyushego-vida-.html
  • testyi.bystrickaya.ru/anton-kempinskij-stranica-4.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/polozhenie-o-provedenii-zonalnogo-etapa-olimpiadi-po-discipline-fizika-sredi-studentov-ou-ssuzov-g-novocherkasska.html
  • tasks.bystrickaya.ru/1-sentyabrya-v-0900-informacionnij-byulleten-administracii-sankt-peterburga-33-684-30-avgusta-2010-g.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/statisticheskie-metodi-v-issledovanii-potrebleniya-naseleniya-chast-2.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zhenshin-a-v-bespopovskom-staroobryadcheskom-soobshestve-vo-vtoroj-polovine-xix-nachale-xx-vv-po-materialam-sankt-peterburgskoj-novgorodskoj-vologodskoj-i-oloneckoj-gubernij.html
  • predmet.bystrickaya.ru/rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-5-maya-2010-g-stranica-2.html
  • bukva.bystrickaya.ru/notariat-yuridicheskaya-sluzhba-predpriyatiya-obedineniya-okazanie-yuridicheskih-uslug-po-licenziyam.html
  • uchit.bystrickaya.ru/terminologiya-po-obshestvennomu-zdorovyu-i-zdravoohraneniyu-stranica-3.html
  • diploma.bystrickaya.ru/vvoz-tovarov-v-respubliku-belarus.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rasporyazhenie-ot-02-fevralya-2012-goda-46-g-krasnokamensk.html
  • doklad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-socialnaya-psihologiya-dlya-specialnostej.html
  • control.bystrickaya.ru/countblanks-rukovodstvo-polzovatelya-rukovodstvo-i-spravochnik.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/voprosi-otvetstvennosti-v-novom-rossijskom-tamozhennom-zakonodatelstve.html
  • tests.bystrickaya.ru/kurs-lekcij-dlya-studentov-specialnost-030503-5152-pravovedenie-srednego-professionalnogo-obrazovaniya.html
  • spur.bystrickaya.ru/lekciya-6-neklassicheskaya-filosofiya-v-kontekste-evropejskoj-kulturi-hh-veka.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sdds-dv00-gosudarstvennij-obrazovatelnij-standart-srednego-professionalnogo-obrazovaniya-gosudarstvennie-trebovaniya.html
  • occupation.bystrickaya.ru/napravlenie-podgotovki-obshij-konkurs-aliluev-aleksej-andreevich-132.html
  • abstract.bystrickaya.ru/19-aprelya-2012-goda-v-14-chasov-otkrituyu-rajonnuyu-olimpiadu-po-russkomu-yaziku.html
  • student.bystrickaya.ru/32-filosofskie-problemi-astronomii-i-kosmologii-uchebno-metodicheskoe-posobie-dlya-aspirantov-i-soiskatelej-uchenoj.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/puti-povisheniya-kachestva-literaturnogo-obrazovaniya-metodicheskie-rekomendacii-k-nachalu-2008-2009-uchebnogo-goda.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/antologiya-gumannoj-pedagogiki-zhivaya-etika-izdatelskij-dom.html
  • reading.bystrickaya.ru/koncepciya-dolgosrochnogo-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-rossijskoj-federacii-moskva.html
  • essay.bystrickaya.ru/bileti-po-predmetu-osnovi-standartizacii-sertifikacii-i-metrologii-za-vesennij-semestr-2001-goda-chast-2.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-gidravlika-.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-paketi-pp-rekomenduetsya-dlya-napravleniya-podgotovki-100700-torgovoe-delo.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/ag-kokin-kurganskij-gosudarstvennij-universitet-s-m-nikolskogo-sekciya-problemi-prepodavaniya-informatiki.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.